Démontrons le théorème suivant: dans un triangle rectangle la médiane relative à l'hypoténuse vaut la moitié de cette hypoténuse.
1- D'après Pythagore et dans un triangle ABC rectangle en B: AB^2+BC^2=AC^2
2- D'après Appolonus, dans un triangle quelconque ABC où K milieu de AC: AB^2+BC^2=2BK^2+2AK^2
3- Considérons un triangle ABC rectangle en B où K milieu de AC: AB^2+BC^2=AC^2
Et AB^2+BC^2=2BK^2+2AK^2
Donc AC^2=2BK^2+2AK^2
(AK+KC)^2=2BK^2+2AK^2 Or K milieu de AC donc AK=KC
(2AK)^2=2BK^2+2AK^2
4AK^2=2BK^2+2AK^2
4AK^2-2AK^2=2BK^2
2AK^2=2BK^2
AK=BK
Donc dans un triangle rectangle la mediane relative à l'hypothénuse vaut la moitié de cette hypoténuse.
S'il y a des fautes je serai content de les corriger, lisez bien et laissez des commentaires!
1- D'après Pythagore et dans un triangle ABC rectangle en B: AB^2+BC^2=AC^2
2- D'après Appolonus, dans un triangle quelconque ABC où K milieu de AC: AB^2+BC^2=2BK^2+2AK^2
3- Considérons un triangle ABC rectangle en B où K milieu de AC: AB^2+BC^2=AC^2
Et AB^2+BC^2=2BK^2+2AK^2
Donc AC^2=2BK^2+2AK^2
(AK+KC)^2=2BK^2+2AK^2 Or K milieu de AC donc AK=KC
(2AK)^2=2BK^2+2AK^2
4AK^2=2BK^2+2AK^2
4AK^2-2AK^2=2BK^2
2AK^2=2BK^2
AK=BK
Donc dans un triangle rectangle la mediane relative à l'hypothénuse vaut la moitié de cette hypoténuse.
S'il y a des fautes je serai content de les corriger, lisez bien et laissez des commentaires!